2017年高考数学第15题的6种解法

更新日期：2026-09-18 01:34:39

标题

2017年高考数学第15题的6种解法

内容

2017年高考数学试卷中，第15题是一道综合性较强的题目，考查了学生对三角函数、向量、几何图形等知识点的掌握与灵活运用能力。本题虽难度适中，但解法多样，能够体现学生的思维深度和逻辑推理能力。以下是对该题的六种不同解法的总结与分析。

一、题目回顾

题目：

已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$，$\vec{b} = (\cos\theta, \sin\theta)$，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$，求角 $\theta$ 的值。

二、解法总结

解法编号	解法名称	解题思路	知识点应用
1	向量点积公式法	直接利用点积公式 $\vec{a} \cdot \vec{b} =	\vec{a}	\vec{b}	\cos\theta$ 进行计算	向量点积、三角函数
2	坐标代入法	将 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的坐标代入点积公式，直接解方程	向量运算、三角函数方程
3	单位向量法	将 $\vec{b}$ 视为单位向量，利用模长关系简化计算	向量模长、单位向量
4	几何图形法	构造向量 $\vec{a}$ 与单位圆的关系图，结合角度进行几何分析	向量方向、单位圆、三角函数
5	三角恒等变换法	利用 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 的关系进行化简	三角恒等式、三角函数变换
6	代数变量替换法	引入变量 $x = \cos\theta$，将问题转化为代数方程求解	代数方程、三角函数变量替换

三、详细解析（部分）

解法1：向量点积公式法

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times \cos\theta + \sqrt{3} \times \sin\theta = 1

即：

\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta = 1

可以看作：

2\left( \frac{1}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta \right) = 1

即：

\cos(\theta - 60^\circ) = \frac{1}{2}

解得：

\theta = 60^\circ + 360^\circ k \quad \text{或} \quad \theta = -60^\circ + 360^\circ k

解法2：坐标代入法

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times \cos\theta + \sqrt{3} \times \sin\theta = 1

整理得：

\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta = 1

这是一个关于 $\theta$ 的三角方程，可进一步通过辅助角法或数值方法求解。

解法5：三角恒等变换法

设：

\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta = 1

两边平方：

(\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta)^2 = 1^2

展开得：

\cos^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 3\sin^2\theta = 1

利用 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，整理后可得：

1 + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta = 1 \Rightarrow \sin(2\theta) = 0

解得：

2\theta = n\pi \Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{2}

再代入原式验证，得到符合条件的解。

四、结语

2017年高考数学第15题虽然看似简单，但其解法多样，体现了数学思维的灵活性和多样性。不同的解法对应着不同的知识体系和思维方式，有助于学生在学习过程中不断拓展视野，提升综合解题能力。通过对这道题的多角度分析，不仅可以加深对向量与三角函数的理解，还能培养严谨的数学思维习惯。

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